LAS MATEMATICAS: TEMAS DE CLASE

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas. Así las gráficas de ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal y tampoco son 1-a-1. Esto significa que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a hacer de ella una 1-a-1.

Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un dominio adecuado podemos usar todos los valores delrango.

Si restringimos el dominio de f(x) = sin x a

hemos hecho la función 1-a-1. El rango es [–1, 1].

(Aunque hay muchas formas de restringir el dominio para obtener una función 1-a-1 esto es de acuerdo con el intervalo usado.)

Denotamos la función inversa como y = sin^–1x. Se lee y es la inversa del seno de x y significa que y es el ángulo de número real cuyo valor de seno es x. Pero tenga cuidado con la notación usada. El superíndice “^–1” NO es un exponente. Para evitar esta notación, algunos libros usan y = arcsin x como notación.

Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una reflexión sobre la recta y = x de la función seno.

Dese cuenta que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que el dominio está restringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo de 1^er cuadrante y todos los valores negativos nos arrojará un ángulo de 4^to cuadrante.

Similarmente, podemos restringir los dominios de las funciones coseno y tangente para hacerlas 1-a-1.

El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π]. Esto significa que un valor positivo nos arrojará un ángulo de 1^er cuadrante y un valor negativo nos arrojará un ángulo de 2^do cuadrante.

El dominio de la función tangente inversa es (–∞, ∞) y el rango es

. La inversa de la función tangente arrojará valores en los cuadrantes 1^er y 4^to.

El mismo proceso es usado para encontrar las funciones inversas de las funciones trigonométricas restantes-cotangente, secante y cosecante.

Función	Dominio	Rango
sin^–1x	[–1, 1]
cos^–1x	[–1, 1]	[0, π]
tan^–1x	(–∞, ∞)
cot^–1x	(–∞, ∞)	(0, π)
sec^–1x	(–∞, ∞)
csc^–1x	(–∞, ∞)

Son funciones necesarias que nos permiten calcular los ángulos de un triángulo a partir de la medición de sus lados.

Sin embargo, ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas, por eso debemos restringir su domino para que se puede hallar la inversa.

FUNCIÓN ARCOSENO

Si la función original es descrita como y = sen x , entonces la inversa se denota o también se denota y=sen^-1x.

La función inversa de y=senx restringido es: y=sen^-1x, su dominio es [-1,1] y el recorrido es [-π/2, π/2] , su gráfica es creciente, es una función impar porque sen^-1(-x) = -sen^-1(x)

La gráfica respectivamente seria:

FUNCIÓN ARCOCOSENO

Si la función original es descrita como y = cos x , entonces la inversa se denota o también se denota y=cos^-1x.

La función inversa de y=senx restringido es: y=cos^-1x, su dominio es [-1,1] y el recorrido es [0, π] , su gráfica es creciente, es una función par porque cos^-1(-x) = cos^-1(x)

La gráfica respectivamente seria:

FUNCIÓN ARCOTANGENTE

Si la función original es descrita como y = tan x , entonces la inversa se denota o también se denota y=tan^-1x.

Su dominio es [∞,-∞] y el recorrido es [-π/2, π/2] , su gráfica es creciente, es una función par porque tan^-1(-x) = tan^-1(x)

Su respectiva gráfica es:

FUNCIÓN ARCOCOTANGENTE

La función cotangente inversa, seria denotada con la expresión y = cot^-1 , está definida por: y = cot^-1(x) si y solo si x = cot y donde 0 < y < π y x ∈

\mathbb{R}

donde x es cualquier número real.

Su dominio es

\mathbb{R}

y el recorrido es (0,π) , y su respectiva gráfica es:

FUNCIÓN ARCOSECANTE:

La función cotangente inversa, seria denotada con la expresión y =cot^-1 , está definida por: y = sec^-1(x) si y solo si x = sec(y) donde y ∈ [0,π/2) U (π/2,π] y x < o igual a -1 o x > o igual a 1.

Al restringir el dominio de la función y = sec x al intervalo [0,π/2) U (π/2,π], la función resultante es inyectiva y, por lo tanto, tiene inversa.

La respectiva gráfica seria respectivamente:

FUNCIÓN ARCOCOSECANTE

La función cotangente inversa, seria denotada con la expresión y = csc^-1 , está definida por: y = csc^-1(x) si y solo si x = csc(y) donde y ∈ [-π/2,0) U (0,π/2] y x < o igual a -1 o x > o igual a 1 y donde x es cualquier número real.

Al restringir el dominio de la función y = cos x al intervalo [-π/2,0) U (0,π/2], la función resultante es inyectiva y, por lo tanto, tiene inversa.

La respectiva gráfica seria respectivamente:

Operaciones con funciones inversas

Existen expresiones las cuales involucren operaciones con funciones trigonométricas inversas. Para su solución es necesario aplicar las definiciones y propiedades fundamentales y ademas tener en cuenta las tablas mostradas a continuación:

Ángulos de 30°, 45°, 60°

Angulo	30°	45°	60°
Seno	1/2	√2/2	√3/2
Coseno	√3/2	√2/2	1/2
Tangente	√3/3	1	√3
Cotangente	√3	1	√3/3
Secante	2√3/3	√2	2
Cosecante	2	√2	2√3/3

Signos de acuerdo al cuadrante en que se localice

	I	II	III	IV
Seno	+	+	-	-
Coseno	+	-	-	+
Tangente	+	-	+	-
Cotangente	+	-	+	-
Secante	+	-	-	+
Cosecante	+	+	-	-

I	II	III	IV
30°	150°	210°	330°
45°	135°	225°	315°
60°	120°	240°	300°

Empleando conocimientos posteriores y el uso de las anteriores tablas procederemos a responder los siguientes ejercicios:

Arctan (√3/3) = Tan θ = (√3/3)

θ = 30° = π/6

Para el II Cuadrante:
Tan150 = -√3/3

Para el III Cuadrante:
Tan 210 = √3/3

Para el IV Cuadrante:
Tan 330 = -√3/3

Cot (arcsen (-1/2)) =

Arcsen(-1/2) = θ =
Sen θ = -1/2 Cot θ = √3/1

a = √2² - 1²

a = √3

Csc (arctan (-5/15)) =

Arctan ( -5/12 ) = Tan θ = -5 = opuesto = eje y

12 = adyacente = eje x

h = √5² - 12²= √169 = 13 Csc θ = -13/5

¿Es correcta la expresión?:

Arctan ( tan 2π/3) = 3/2

Arctan ( tan 2π/3) = arctan ( Tan 120° ) = ( Tan 60°)

Arctan ( -√3) = θ

Tan θ = -√3

θ = 120° = 2π/3 No concuerda con la verdadera respuesta

Arctan (2 sen π/3) = Arctan ( 2 sen 60)

= Arctan ( 2√3/2)
Tan θ = √3 = 60°

Sec ( arcsen (12/13)) = #

Sen θ = 12 op
13 ady

Sec = 13/5

Aplicación de las Funciones trigonométricas

LEY SENO:

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, sin importar que este deba ser exclusivamente triangulo rectángulo. Es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue:

Ejercicio:

° C = 74

a = ?

c = ?

b   = a = 40
sen 31 sen 75 sen 74
a = 40   = a = 40 sen 75     a = 40,19
sen 75 sen 74 sen 74

b   = 40
sen 31 sen 74
sen 31 x 40 = b = 21,43
sen 74

Perimetro = a+b+c = 40,19 + 40 + 21,43 = 101,61

Experiencia evaluación II, sobre funciones trigonométricas inversas y ley seno:
Una evaluación que pese al estar dividía en 2 partes fue bastante dinámica, en su primer parte me agrado el completar las tablas, las cuales se veían mas complicadas de lo que eran, asi mismo con la segunda parte, aun que me complique en algunos ejercicios, que mas tarde lamente, me alegro, después poder corregir mis errores para tenerlos en cuenta par una próxima vez.

LEY COSENO:

La ley de cosenos se puede considerar como una exención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Experiencia Acumulativa, sobre funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y ley seno:

Una evaluación bastante pesada, en la cual hubiese querido tener la segunda parte de primera, ya que esta se realizaba de una forma mas sencilla, pero aun que esto no resulto así, tuve bastantes problemas en la primera parte ya que aun que requería calculadora se me dificulto un poco lo que seria la solución de triángulos y la elaboración de gráficas. De resto la segunda parte, que aun que no me quedaba mucho tiempo resulto se mas sencilla, de simple observación y marcar la respuesta correcta.

La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de untriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.

Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1

. Encontrar la longitud del tercer lado.

Solución:

Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:

Te recomendamos visitar el siguiente sitio web donde se presentan excelentes animaciones que te ayudarán a comprender mejor la ley de cosenos: IES-Ley de cosenos simulación I.y IES-Ley de Cosenos simulación II.

Si deseas profundizar en geometría, trigonometría y cálculo puedes visitar los siguientes sitios web.

Repasa triángulos en el siguiente sitio: Triángulos
Simulaciones de geometría, cálculo y trigonometría:

LAS MATEMATICAS

TEMAS DE CLASE

Funciones trigonométricas inversas

Operaciones con funciones inversas

Aplicación de las Funciones trigonométricas

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