CÓNICAS

La hipérbola como sección cónica            
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.
        La elipse como sección cónica
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).

La parábola como sección cónica      

Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.


Curvas cuadráticas
Definición :
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como    
donde

Una cónica queda pues definida  por una matriz simétrica 
En lo que sigue denotaremos por Aii  a la matriz adjunta en A del elemento aii   i=0,1,2 .

Ejemplo:

                                         
En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior
 

En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son
         
          
Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:

                  

A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.


Clasificación de las cónicas
Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).
Si    y   son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces
1)  det A=det A'=det A'',
2)   a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,
3)  det A00 = det A'00 = det A''00.


 Tabla de Clasificación





det A ≠ 0 


det A00   ≠ 0 
det A00  > 0
signo (det A) = signo (a11+a22)              Elipse imaginaria
signo (det A) ≠  signo (a11+a22)             Elipse real
det A00  < 0                                                                        Hipérbola
det A00  = 0                                                                                                     Parábola




det A= 0

det A00  ≠ 0
det A00  > 0            Rectas no paralelas imaginarias
det A00  < 0            Rectas no paralelas reales


det A00  = 0
det A11 + det A22  ≠ 0
det A11 + det A22  > 0      Rectas paralelas imaginarias
det A11 + det A22  < 0      Rectas paralelas reales
det A11 + det A22  = 0                                                    Rectas coincidentes
 

Elementos notables de las cónicas

Centro:

Polar  Dado un punto  P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación
 
Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cónica en dicho punto P.

Ejemplo:

Consideremos la cónica de ecuación
que matricialmente se escribe como
Utilizando la tabla de clasificación vemos que se trata de una elipse real puesto que
La polar del punto (1,2) será la recta 


Observamos que el punto (1,2) pertenece a la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta tangente en dicho punto.

 

La polar del punto (1,1) es la recta
 
  

La polar del punto (3/2, 9/4) es la recta
 

 
Es posible que un punto P=(x0,y0) no tenga polar respecto a una cónica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar el sistema de ecuaciones
que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta).
Para que este sistema tenga alguna solución se ha de verificar
Además si det A00 es no nulo, entonces la solución del sistema es única y por lo tanto habría un único punto que no poseerá recta polar. Este punto se denominacentro de la cónica. No todas las cónicas tienen centro.

El centro de la cónica tiene la particularidad de ser su centro de simetría.
Si C es una elipse o una hipérbola entonces  det A00  ≠ 0 y el sistema es compatible determinado lo que indica que estas cónicas tienen centro y que éste es único.

Ejemplo:
En la elipse del ejemplo anterior el centro será el punto (2,2) única solución del sistema de ecuaciones
 

Sin embargo si la cónica es una parábola, todos sus puntos tienen polar. La parábola es por tanto una cónica sin centro.
Polo  Dada una recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a una cónica C  si r es la polar de P respecto a C
Por supuesto hay rectas que no tienen polos: en la elipse y la hipérbola son todas las que pasan por el centro y en la parábola son las rectas de dirección (-a12, a11) que son además perpendiculares al vector  (a01 a12 - a02 a11, a01 a22 - a02 a12) y las únicas que cortan a la parábola en un solo punto.
Diámetro  Llamaremos diámetro de una cónica C a cualquier recta sin polo.

Las figuras siguientes muestran  diámetros en una elipse y una parábola
        

Diremos que dos diámetros son conjugados si  no son asíntotas (en el caso de la hipérbola) y uno de ellos coincide con el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas determinadas por la cónica en las rectas paralelas al otro.
 

Ecuación reducida

La ecuación reducida de una cónica es aquella ecuación simplificada de la curva que sitúa el centro (si lo tiene) de la cónica como origen de coordenadas mientras que los ejes presentan unas relaciones particulares con la cónica.
Partiendo de la ecuación general de una cónica se puede llegar a su ecuación reducida aplicándole consecutivamente un giro y una traslación de forma adecuada.
Clasificaremos en tres tipos las ecuaciones reducidas de las cónicas:
  • Elipse, hipérbola, pares de rectas no paralelas:
  
Donde  a'11 y a'22 son las soluciones de la ecuación  en z
                                     
y
                                        
                                 

     


  •  Parábola
  
con   
                             

  • Pares de rectas paralelas o coincidentes
con
                                                          

Ejemplo:

Consideremos la ecuación cuadrática
   
La matriz de la cónica que define la ecuación anterior será
  
Veamos que tipo de cónica es calculando sus invariantes
  
Esto nos indica que es una parábola.
 

 

La ecuación  reducida de esta parábola será
  
            



Las cónicas como lugares geométricos

Si F es un punto fijo del plano y  D una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias al punto F y a la recta D están en proporción constante es  una cónica no degenerada (elipse, hipérbola, parábola).
Al punto F se le denomina foco de la cónica y a la recta D directriz asociada al foco F.

Ecuación focal

Si C es una cónica propia (no degenerada), en un sistema de referencia determinado, su ecuación será
donde  F=(x0, y0) es el foco de la cónica y la recta ax+by+d=0 es la directriz asociada al foco F. La ecuación anterior se puede transformar fácilmente en
Renombrando los coeficientes y haciendo a2+b2=e2 ya que a2+b2 >0  la ecuación queda finalmente como
  
Esta ecuación se conoce como ecuación focal de la cónica y a'x+b'y+d'=0 es la ecuación de Euler para la directriz.  Más adelante veremos como se puede obtener la ecuación focal partiendo de la ecuación reducida de la cónica.
La cantidad e se denomina excentricidad de la cónica y es un invariante puesto que, como se comprueba fácilmente,  det A00=1-e2
En términos de distancia, la ecuación focal queda como
Es decir, en una cónica no degenerada el cociente entre las distancias de cualquiera de sus puntos al foco y  a la directriz es constante (dada por la excentricidad).
 

Se puede comprobar que en una cónica la directriz asociada a un foco F es precisamente su  recta polar. El foco de la cónica es pues cualquier punto del plano para el que la razón de la distancia de un punto cualquiera P de la cónica a F y la distancia de P a la polar de F es constante
                  




Cónicas no degeneradas 


Cónicas con centro

Como hemos visto las cónicas propias (o no degeneradas) con centro son la elipse, dentro de la cual se incluye la circunferencia como caso particular (cuando a11= a22),  y la hipérbola.  Antes de estudiar cada una de ellas por separado veamos algunas de las características conjuntas que presentan.
Para estas cónicas se definen los ejes de la cónica como un par de diámetros conjugados perpendiculares que son además ejes de simetría de la cónica. Además sólo existe un par de ejes  salvo en el caso de la circunferencia en el que hay infinitos.

Aviso:  esta sección  requiere conocimientos de álgebra lineal de la carrera. Si quieres saltarla pincha aquí
A continuación vemos como se pueden calcular los ejes.
La matriz A00 asociada a la cónica C define un endomorfismo de IR2. Los valores propios de este endomorfismo, λ1 y λ2, tendrán vectores propios asociados, v1y v2, ortonormales. Como λ1 y λ2 son las raíces del polinomio característico de A00, si el discriminante  de la ecuación  en l  det(A00-λI) = 0 es no nulo entonces hay dos soluciones distintas y v1 y v2 quedan determinados de forma única (salvo cambio de orden y signo) y reciben el nombre de direcciones principales de la cónica.
Si el discriminante es nulo entonces l1=l2  y cualquier vector es propio. Se dice entonces que toda dirección es principal. Como v1 y v2 se pueden elegir ahora cualquier par de vectores ortonormales.
Si  C es el centro de la cónica y v1 y v2 sus direcciones principales  entonces las rectas que pasan por el centro y tienen como vectores directores a v1 y v2 son los ejes de la cónica.
La ecuación reducida de la cónica será 
Consideremos la cónica de ecuación
Su matriz asociada es
Como det A=-1/4 ≠ 0 y det A00 = -9/4 < 0, la cónica es una hipérbola.
El centro de la hipérbola es la solución del sistema
es decir el punto (2/9,-10/9).
Para calcular los ejes de la hipérbola hallamos en primer lugar los autovalores de A00 o lo que es lo mismo las raíces del polinomio característico de A00 es decir necesitamos resolver la ecuación en l  det(A00-λI)=0, que en este caso queda
Las soluciones son   . Dos autovectores ortogonales asociados son

que serán las direcciones de los ejes de la hipérbola. Teniendo en cuenta que los ejes pasan por el centro ya calculado, sus ecuaciones serán
 
 
Finalmente escribimos la ecuación reducida de la hipérbola :
La elipse y la circunferencia    
Un ejemplo real


La órbita del asteroide Eros
La primera ley de Kepler establece que los planetas describen órbitas elípticas con el sol situado en uno de sus focos. Dicha ley también es de aplicación a otros pequeños cuerpos del sistema solar llamados planetas menores o asteroides.

En la animación se muestra, en azul, la órbita  prácticamente circular de la Tierra (excentricidad 0.017) y, en rojo, la órbita elíptica (excentricidad 0.223) descrita por el asteroide numerado 433 conocido con el nombre de "Eros".

La órbita de Eros está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 11 grados con el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamadoplano de la eclíptica. Lo que se observa en la animación es la proyección de la elipse descrita  por el cometa sobre este último plano.

Las esferas azul, roja y amarilla indican sólamente la posición de la Tierra, el asteroide y el Sol, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ninguno de ellos sería visible en la animación en el caso de que se representarán a escala.

El internauta interesado en los objetos que, como Eros, describen órbitas próximas a la de la Tierra puede consultar el sistema NEODyS, donde también encontrará multitud de enlaces a otras páginas relacionadas con el tema.
La elipse como lugar geométrico:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano para los que la suma de las distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Supongamos que los focos son F1=(c,0) y F2=(-c,0) y llamemos 2a a la suma de las distancias, entonces los puntos (x,y) de la elipse verifican
simplificando esta ecuación se llega a
Esta es la ecuación reducida de la elipse en la que los ejes coordenados son los ejes de simetría de la elipse y el origen de coordenadas es su centro.                                                                            
Encontremos la ecuación focal de la elipse
                  
                                                     
Agrupando términos en la última expresión
En esta ecuación focal tenemos que el foco es el punto (c,0) y la directriz es la recta paralela al eje X: x=a2/c. La excentricidad es e=c/a que es estrictamente menor que 1 puesto que c=(a2-b2)1/2< a.

Una cónica propia es una elipse si la excentricidad es menor que 1: e< 1. Cuando e=0 la elipse es una circunferencia: la excentricidad en la elipse mide, por tanto, lo que ésta se aleja de la circularidad. En la circunferencia los dos focos se confunden y son a su vez el centro de la cónica. En la animación siguiente se ve como varía la elipse al ir disminuyendo su excentricidad.
 
La hipérbola

Un ejemplo real

La órbita del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami


Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol.

En la animación se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami a lo largo de su órbita hiperbólica (excentricidad 1,000468) en un lapso temporal que abarca desde el año 1998 hasta 2006. En azul  está  representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa.La órbita de C/2002 E2 está contenida en un plano prácticamente perpendicular al que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica Para la animación se ha elegido una vista que proyecta todos los objetos sobre el plano de la órbita del cometa, lo que hace que la órbita de la Tierra se vea de perfil.

El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de  la órbita casi circular  de la Tierra como de la hipérbola descrita por el cometa  Snyder-Murakami. Las esferas azul y roja indican sólamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.

La hipérbola como lugar geométrico

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano para los que la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

  
Supongamos que los focos son F1=(c,0) y F2=(-c,0) y llamemos 2a a la diferencia de las distancias, entonces los puntos (x,y) de la hipérbola verifican (c>a) 
  
operando en esta ecuación se obtiene
De igual forma a como se hizo para la elipse, se consigue la ecuación focal de la hipérbola

pero ahora c2=a2+b2

La excentricidad en la hipérbola es e=c/a >1
Luego las cónicas no degeneradas de excentricidad mayor que 1 son hipérbolas.


Cónicas sin centro


La parábola

Un ejemplo real
 
La órbita del cometa C/2002 B2 LINEAR



Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol.

En la animación se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 B2 LINEAR a lo largo de su órbita parabólica (excentricidad 1,000) en un lapso temporal que abarca desde el año 1999 hasta 2004. En azul  está  representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa.La órbita de C/2002 B2 LINEAR está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 153 grados con el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la  eclíptica . Lo que se observa en la animación es la proyección de la parábola descrita  por el cometa  sobre este último plano.

El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de  la órbita casi circular  de la Tierra como de la parábola descrita por  C/2002 B2 LINEAR. Las esferas azul y roja indican sólamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.
La parábola como lugar geométrico

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (el foco) y una recta dada (la directriz).

  

Supongamos que el foco es F=(p/2,0)  con p>0 y la recta directriz es x=-p/2, entonces los puntos  (x,y) de la parábola verifican la ecuación
Operando en esta ecuación llegamos a


Para este caso la ecuación focal queda

  
La excentricidad en la parábola es 1.


¿Que es una Circunferencia?


La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.
La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

¿Como se constrye una Circunferencia?

 

para construir una circunferencia debemos saber el valor del radio que la caracteriza.
Construir una circunferencia es muy simple. Hay un instrumento muy preciso que nos sirve para construir una circunferencia: el compás.


Como puedes observar este compás tiene la capacidad de medir el radio que caracterizará a la circunferencia que queremos construir, simplemente medimos la distancia del radio desde una punta del compás, que es un alfiler, hasta la otra punta, que es un grafito. Una vez determinada la distancia exigida (que es el radio), fijamos la punta del alfiler en el papel y tomando el extremo superior del compás lo hacemos girar de tal forma que la punta que tiene el grafito vaya marcando la circunferencia. Observa la animación:



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