Ecuacion general de una CircunferenciaElevando al cuadrado obtenemos la ecuación: Si desarrollamos: y realizamos estos cambios: Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:Las formas posibles en gráficas con una circuferencia son: exteriores, secantes, interiores, tangentes exteriores, tangentes interiores y concentricas.Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.Problemas de aplicacion de CircunferenciaEn ciertos problemas intervienen regiones circulares. Para resolver este tipo de problemas algunas veces es necesario reprecentar la circunferencia en un plano carteciano y aplicar su ecuacion. A continuacion un pequeño video donde se aplicara lo anteiror dicho.¿Que es una parabola?En matemáticas, una parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz.El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamadadirectriz, y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de lasecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).Elementos de una Parabola en el planoEcuacion general de una ParabolaAceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula: Hacemos operaciones: Damos valores a: Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola: Formas posibles de una ParabolaLas formas posibles en gráficas con una parábola son: las funciones cuadráticas y la funcion radicales.
Aplicacion de parabolas en cituaciones cotidianasLa parabola se aplica en areas como la ingenieria, la arquitectura y la fisica. Por ejemplo en ingenieria se emplea en la contruccion de algunos puentes colgantes, y en arquitectura, se utiliza en el diseño de edificaciones como iglecias, museos, tearo cuyos techos sonn parabolicosEn fisica, se aprovecha para describir el movimiento de proyectiles y para realizar las propiedades reflectivas de algunos entesA continuacion un video, con un problema donde se incluye su aplicacion en la vida cotidiana.
¿Que es una elipce?
Elementos de una Elipce en el plano
Ecuacion general de un Elipse Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma: Donde A y B tienen el mismo signo. Formas posibles de una ElipseLa ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:x2/a2+y2/b2=1donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipsees horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor.Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:(x−h)2/a2+(y−k)2/b2=1En coordenadas polaresEn coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.Si no se quiere pre-calcular la excentricidad ε→1−b2a2−−−−−−√ convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).
Coord. polares sobre un foco.En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es: Para el foco F1: "Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.En el caso un poco más general de una elipse con el foco F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ, la forma polar es:(503)r(θ)=a(1−ε2)1−εcos(θ−φ)}El ángulo θ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas a(1−ε2) es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.Formas paramétricasLa ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es:{x=h+acosαy=k+bsinαcon α∈[0,2π) . α no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre α y θ estgθ=ba tgα.La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) en la que el parámetro θ sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado (h,k) es:⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=h+1cos(θ)2a2+sin(θ)2b2√cosθy=k+1cos(θ)2a2+sin(θ)2b2√sinθcon θ∈[0,2π). El parámetro θ es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en (h,k). Problemas de elipse en la vida cotidianaAl igual que las parabolas, las elipses tienen diversos problemas de aplicacion. Por ejemplo, las elipses se aplican a la descripcion del movimiento de los planetas alrededor del sol, en los diseños arqueologicos y en la descripcion de la transmicion de onsas sonoras, entre otras. A continuacion en forma de video se precenta un ejemplo de como la elipse se aplica en problemas.
Forma cartesiana centrada en el origen
Forma cartesiana centrada fuera del origenForma polar centrada en origen[Formas polares centradas en un foco
¿Que es una Hipérbola? ¿Como se contruye una Parabola? Elementos de una Hiperbola en el plano Ecuación de la hipérbola en su forma compleja La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.para construir una circunferencia debemos saber el valor del radio que la caracteriza.Construir una circunferencia es muy simple. Hay un instrumento muy preciso que nos sirve para construir una circunferencia: el compás.
Como puedes observar este compás tiene la capacidad de medir el radio que caracterizará a la circunferencia que queremos construir, simplemente medimos la distancia del radio desde una punta del compás, que es un alfiler, hasta la otra punta, que es un grafito. Una vez determinada la distancia exigida (que es el radio), fijamos la punta del alfiler en el papel y tomando el extremo superior del compás lo hacemos girar de tal forma que la punta que tiene el grafito vaya marcando la circunferencia. Observa la animación:La elipse es una línea curva, cerrada y plana, es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado
Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Aprovechando cuanto hicimos cuando tratamos la ecuación general de la elipse tendremos:
Formas posibles de una hiperbole
Las formas posibles en gráficas con una hipérbola son:
hipérbola en su forma canónica.
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h,k)
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos z, en el plano ReIm; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias |z−w1|−|z−w2|, a dos puntos fijos llamados focosw1 y w2, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea 2l ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal. La ecuación queda: |z−w1|−|z−w2|=2l
Aplicacion de la Parabola en la vida cotidiana
La hiperbola se aplica en optica debido a sus propiedades de reflexion. Por ejemplo, si se envia un haz de luz en un foco F1 de una hiperbola, este se reflejara en el foco F2, en su ponto correspondiente al otro lado del plano.
Ademas de sus aplicaciones optica, la hiperbola tambien se utiliza en astronomia y en navegacion. En astronomia, se utiliza para describir la trallectoria de algunos cuerpos celestes en los competas.
Las formas posibles en gráficas con una circuferencia son: exteriores, secantes, interiores, tangentes exteriores, tangentes interiores y concentricas.Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
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